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Actualización: un segundo artículo donde respondo a las cuestiones y errores más frecuentes sobre este tema: Más de CUP, el mal uso de probabilidades y un bayesiano.

En Twitter preguntan cuál era la probabilidad de empate:

Dado que había ya respuestas erróneas respondí, luego expliqué cuál es la forma de calcular la probabilidad de que 3030 personas cuyos votos son independientes (se supone) y que tienen dos opciones (no contamos abstenciones, varía poco). Pero no hubo caso, seguían insistiendo que estaba mal. Unos con fórmulas equivocadas, otros asegurando que hubo tongo y conspiraciones varias. Y otros que si hubiese sido impar el nḿero de votantes el empate es imposible (¡gran observación! :roll:).

Por supuesto que cuando calculas probabilidades te ciñes a unos supuestos, en este caso son muy simples:

  • Son 3030 votos contabilizados, cada uno puede ser sí o no (o 0 y 1).
  • Un empate se da cuando hay igual número de síes (1) que de noes (0).

Hay varias formas equivalentes de razonarlo:

  • Probabilística: Se tiran 3030 monedas, como son sucesos independientes da igual si lanzas las 3030 a la vez o repites 3030 lanzamientos con la misma moneda. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 1515 caras y 1515 cruces?
  • La (informática) de contar: Como la decisión es binaria, hay 2^3030 dígitos binarios diferentes que representan a la votación (o un número de 3030 bits), ¿cuántas combinaciones hay de números de 3030 bits cuyo número de 0 y 1 sean iguales? Sabiendo eso la probabilidad es sencillamente ese número de combinaciones dividido por el total (2^3030).

En ambos casos la solución es igual. El número de combinaciones posibles para monedas de dos caras – o números de 2 bits- con el coeficiente binomial  para este caso es igual a binomial(3030, 1515).

Ese resultado enorme indica la cantidad de combinaciones posibles para que salgan 1515 síes (o 1) y 1515 noes (o 0) sobre un conjunto de 3030 elementos. Entonces la probabilidad de que salga un empate de las 2^3030 combinaciones posibles en total es igual a binomial(3030, 1515)/2^3030 = 0.0144938216980724… o aproximadamente: 1.44%

Es decir, la probabilidad de que ocurra un empate considerando votos independientes y equiprobables no es tan baja. De hecho es la más alta de cualquier otro resultado individual (que no con el total, la probabilidad de que no sea empate es 100% – 1.44% = 98.56%). Podéis probarlo fácil, por ejemplo de que hayan salido 1500 de síes (o noes) y 1530 de lo contrario.

Este es el punto, la probabilidad empate no es despreciable o “improbable” (sic) como aseguraban hasta matemáticos. Tampoco es 1/3030, ni 1/3031, ni 1/3029 como aseguraban otros.

A pesar que expliqué en una serie larga de tuits seguían insistiendo en que estaba mal, o que no consideraba conspiraciones. Lo siento, pero la pregunta es cuál era la probabilidad de que ocurra con votos independientes y equiprobables… que es como toca calcular para casos como este.

De todas formas, dado que las elecciones anteriores ya estaban muy empatadas la probabilidad de empate es aún mayor (podéis jugar cambiando las cifras de n y k en los enlaces anteriores). Esta probabilidad mayor puede salir tanto con fórmulas frecuentistas como con Bayes. Otros argumentan que hay que considerar votos en blanco, los resultados no cambiarán tanto e incluso aumentarán porque n será menor y el 2^n decrecerá más rápido.

Insisto en el fondo de la cuestión: la probabilidad de un empate no es tan baja como afirmaban muchos. Las conspiranoias o fraude no entran en el cálculo, no podemos presuponer (ni tenemos datos) que los votos secretos en la misma elección no eran independientes entre sí. Con esta excusa cualquier pregunta de probabilidades no tendría sentido ya que cualquier respuesta o aproximación será errónea con una probabilidad del 100%😉

Aún más, si no creéis en las fórmulas, podéis probar simulando las votaciones con este pequeño programa en Python que simula 3030 votaciones binarias. Podéis ver que los resultados convergen con mayor número de “votaciones”.

Screenshot from 2015-12-28 00-37-56

Pues mira, coincide la fórmula, la explicación y la simulación pura y dura.

PS: No pasa nada que matemáticos y economistas no se acuerden de probabilidades y combinatorias de primero de carrera, lo vergonzoso es que antes de desinformar con fórmulas erróneas no lo hayan verificado o probado con casos sencillos para asegurarse. Es su profesión y sus lectores les otorgan autoridad, collons.

PS2: Me pasan una gráfica de la distribución hecha en Excel, se observa bien la probabilidad de cada resultado individual y que. en general, los resultados cercanos al empate tienen mayor probabilidad.

 

PS3: Por supuesto, con votos impares el empate idéntico es imposible pero la distribución es la misma, habrá dos resultados con la misma probabilidad.

PS4: Ojo, no estoy asegurando que no hubo pucherazo, solo que no se puede inferir por probabilidades, tal como aseguraron muchos (¡incluso matemáticos y doctores de la cosa!).